红黑树的变色与旋转

为什么需要红黑树?

二叉查找树

红黑树需要根据二叉查找树的规则生成,那么二叉查找树具备什么特性呢?其特性如下:

  1. 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
  2. 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
  3. 左、右子树也分别为二叉排序树。
二叉查找树的缺点

如果我们在二叉查找树中插入某个值,可能会出现如下一种情况:

这样线性的结构大大影响了查找性能,这是就需要红黑树。

红黑树的特性

红黑树是一种自平衡的二叉查找树,它在二叉查找树的基础上又具备如下特征:

  1. 节点是红色或黑色。
  2. 根节点是黑色。
  3. 每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL节点)。
  4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
  5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

如下图,就是一颗典型的红黑树:

为了满足如上的规则,实现结构的平衡,我们在插入或删除节点的时候,就需要做一些相应的调整。

例如:

1.向原红黑树插入值为14的新节点:

2.向原红黑树插入值为21的新节点:

由于父节点22是红色节点,因此这种情况打破了红黑树的规则4(每个红色节点的两个子节点都是黑色),必须进行调整,使之重新符合红黑树的规则。

调整方法

变色

为了重新符合红黑树的规则,尝试把红色节点变为黑色,或者把黑色节点变为红色。

下图所表示的是红黑树的一部分,需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色,不符合规则4,所以把节点22从红色变成黑色:

但这样并不算完,因为凭空多出的黑色节点打破了规则5,所以发生连锁反应,需要继续把节点25从黑色变成红色:

此时仍然没有结束,因为节点25和节点27又形成了两个连续的红色节点,需要继续把节点27从红色变成黑色:

旋转
左旋转

逆时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的右孩子取代,而自己成为自己的左孩子。说起来很怪异,大家看下图:

图中,身为右孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转

顺时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的左孩子取代,而自己成为自己的右孩子。大家看下图:

图中,身为左孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

实战举栗子

我们以刚才插入节点21的情况为例:

首先,我们需要做的是变色,把节点25及其下方的节点变色:

此时节点17和节点25是连续的两个红色节点,那么把节点17变成黑色节点?恐怕不合适。这样一来不但打破了规则4,而且根据规则2(根节点是黑色),也不可能把节点13变成红色节点。

变色已无法解决问题,我们把节点13看做X,把节点17看做Y,像刚才的示意图那样进行左旋转:

旋转示意图

开始旋转啦

旋转一

由于根节点必须是黑色节点,所以需要变色,变色结果如下:

旋转后变色

这样就结束了吗?并没有。因为其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4,其他路径的黑色节点个数是3,不符合规则5。

这时候我们需要把节点13看做X,节点8看做Y,像刚才的示意图那样进行右旋转:

旋转结果

最后根据规则来进行变色:

最终结果

如此一来,我们的红黑树变得重新符合规则。这一个例子的调整过程比较复杂,经历了如下步骤:

$变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色$

红黑树使用场景

其应用有很多,比如有JDK的集合类TreeMapTreeSet底层就是红黑树,在Java8中,HashMap也是用到了红黑树。

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